TEORÍA ELECTROMAGNETICA: marzo 2016

LEY DE BIOT-SAVART

En una aproximación magnetostática, el campo magnético puede ser determinado si se conoce la densidad de corriente j:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}$

siendo:

$\ dV$ es el elemento diferencial de volumen.
$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi}$ es la constante magnética.

La divergencia y rotacional de un campo magnético estacionario puede hallarse por simple aplicación de tales operadores a la ley de Biot y Savart

Divergencia

Aplicando el operador gradiente a la expresión, se tiene:

$\nabla \cdot \mathbf B = \frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\cdot\left(\mathbf J \times \frac{\mathbf{\hat r}}{r^2}\right)\ dV'$

Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluación del campo independiente de la integración de

\mathbf J

en todo el volumen, el operador no afecta a

\mathbf J

. Aplicando la correspondiente identidad vectorial:

$\nabla \cdot\mathbf B=-\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf J \cdot \left[\nabla \times\nabla\left(\frac{1}{r}\right)\right]\ dV'$

Dado que:

$\nabla \times\nabla\left(\frac{1}{r}\right) = 0$

se tiene:

$\nabla\cdot\mathbf B=0$

Rotacional

Aplicando el operador rotacional tenemos:

\nabla \times\mathbf B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\times\left(\mathbf J \times \frac{\mathbf{\hat r}}{r^2}\right)dV'

Al igual que ocurría en la divergencia, el operador no afecta a

\mathbf J

ya que sus coordenadas son las del dominio de integración y no las del punto de evaluación del rotacional. Aplicando la correspondiente identidad vectorial y conociendo que

\nabla\cdot\frac{\mathbf{\hat r}}{r^2}=4\pi\delta(r)

$\nabla \times\mathbf B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V\mathbf J \cdot \left(\nabla\cdot \frac{{\mathbf\hat r}}{r^2}\right)dV' = \mu_0\int_V\mathbf J\ \delta (r)\ dV'$

Realizando la integración se obtiene finalmente:

$\nabla \times\mathbf B=\mu_0\cdot\mathbf J$

Nótese que el resultado anterior sólo es válido para campos magnéticos estacionarios. Si el campo magnético no fuese estacionario aparecería aparte el término debido a la corriente de desplazamiento.

LEY DE COULOMB

La ley de Coulomb puede expresarse como:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario.

La ley de Coulomb es válida solo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud

F \,\!

de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales

q_1 \,\!

q_2 \,\!

ejerce sobre la otra separadas por una distancia

d \,\!

se expresa como:

$F = \kappa \frac{\left|q_1 q_2\right|}{d^2} \,$

Dadas dos cargas puntuales $q_1 \,\!$ y $q_2 \,\!$ separadas una distancia $d \,\!$ en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:

$F = \kappa \frac{q_1 q_2}{d^2} \,$

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

$\bold{F} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\frac{q_1 q_2}{d^2} \bold{u}_d = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{q_1 q_2(\bold{d}_2 -\bold{d}_1)}{\|\bold{d}_2-\bold{d}_1\|^3} \,$

donde

\scriptstyle \bold{u}_d \,\!

es un vector unitario, siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean estas positivas o negativas.

El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma

(2+ \delta)\,\!

, entonces

\left | \delta \right |< 10^{-16} \,\!

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.

LEY DE LENZ

La polaridad de una tensión inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original.

El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por:

$\Phi = \mathbf{B} \cdot \mathbf{S} = B S \cos{\alpha},$

donde:

\Phi

= Flujo magnético. La unidad en el SI es el weber (Wb).

\mathbf{B}

= Inducción magnética. La unidad en el SI es el tesla (T).

S

= Superficie definida por el conductor.

\alpha

= Ángulo que forman el vector

S

perpendicular a la superficie definida por el conductor y la dirección del campo.

Si el conductor está en movimiento el valor del flujo será:

$\Phi = \int_S B \cos{\alpha} dS$

A su vez, el valor del flujo puede variar debido a un cambio en el valor del campo magnético:

$d\Phi = dB \cdot S \cdot \cos(\alpha).$

En este caso la Ley de Faraday afirma que la tensión inducida ℰ en cada instante tiene por valor:

$\mathcal{E} \ = - N\frac {d \Phi}{dt}$

Donde ℰ es el voltaje inducido, dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ y N el número de espiras del conductor. La dirección del voltaje inducido (el signo negativo en la fórmula) se debe a la oposición al cambio de flujo magnético.

LEY DE GAUSS

Flujo del campo eléctrico

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.El flujo (denotado como

\Phi

) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (

\Phi_E

) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales

\Delta S

, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores